teorema binomial

1.      Distribusi Binomial

      Usaha Bernoulli: suatu eksperimen  yang hasilnya kita klasifikasikan sebagai S (sukses) dan G (gagal) dengan dan

Contoh:

1.      Ujian pilihan ganda (4 pilihan).

Memilih mendapat jawaban benar

 dan

2.      Pengertian sukses relatif

Penyelundup  barang illegal masuk  sukses

Pabean  barang illegal masuk  gagal

Usaha Bernoulli

P(S) = P           P(G) = g=1-p

Usaha Bernoulli kita ulang sebanyak 3 kali secara independent (n = 3)

X = banyaknya sukses

X = 0 GGG P(X = 0) = g³ =  

X = 1   SGG = pg²    P(X = 1) = 3pg² = 

            GSG = pg²

            GGS = pg²

X = 2   SSG = p²g       P(X = 2) = 3p²g =

            SGS = p²g

            GSS = p²g

X = 3   SSS = P(X = 3) = p³ =

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) =

                                                                      = (p + g)³ = 1³ = 1

Syarat proses Bernoulli:

—  Percobaan terdiri dari n usaha yang berulang

—  Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi sukses atau gagal

—  Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usaha yang satu ke usaha berikutnya

—  Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya.

Contoh

1.      Tiga bahan diambil secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. → X adalah banyaknya bahan yang cacat dan S={TTT, TCT, TTC, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC} [C=cacat; T=tak cacat].

penyelesaian

2.       ada info bahwa bahan tersebut dipilih secara acak dari proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, p = 0.25, maka

            P(CTT) = (0.25)(0.75)(0.75) = 0.141

            dengan cara yang sama didapatkan dist. peluang X adalah

Secara umum

Usaha Bernoulli kita ulang sebanyak u kali secara independent

X menyatakan sukses

F(X) = P(X = X) =

F(X) ini disebut distribusi binomial

X mempunyai distribusi binomial

Maka E(X) = np

E(X) =

         = 

         = 

         = 

         =  n.p

            y = x-1

            x = 1 => y = 0

            x = n => y = n – 1

= n.p

= n.p (p + g)^{n -1}

= n.p(1)^{n -1}

= np

  ; x = 0, 1, 2, …. n

Probabilitas suatu barang elektronik tahan guncangan pada waktu pengiriman adalah 0,9. Tentukan probabilitas dari kiriman 10 barang elektronik, 8 diantaranya masuk dalam keadaan baik.

                  n = 10           x = 8

Contoh:

Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0.4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya: a) paling sedikit 10 akan sembuh; b) antara 3 sampai 8 yang sembuh; c) tepat 5 yang sembuh!

Penyelesaian

      X = # penderita yang sembuh;

      n = 15; p = 0.4; q = 0.6.

a). P(X ≥ 10)   = 1 – P(X ≤ 9)

                        = 1 – ∑⁹_x=0b(x;15,0.4)

                        = 1 – 0.9662 = 0.0338

b). P(3  ≤ X ≤ 8)   

                  = P(X ≤ 8) – P(X ≤ 2)

                  = ∑⁸_x=0b(x;15,0.4) – ∑²_x=0b(x;15,0.4)

                  = 0.9050 – 0.0271

                  = 0.8779

c). P(X = 5)     = P(X ≤ 5) – P(X ≤ 4)

                        = ∑⁵_x=0b(x;15,0.4) – ∑⁴_x=0b(x;15,0.4)

                        = 0.4032 – 0.2173

                        = 0.1859

2        Distribusi poisson

 Definisi: Dist peluang p.a Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi  dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh

                                            

  λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut.

      e = 2.71828…

Misalkan x adalah variabel random diskrit yang menyatakan banyaknya sukses dalam suatu selang waktu suatu daerah tertentu. Selang waktu bisa dari milidetik sampai dengan tahun. Daerah pengamatan bisa luasan dari mm² sampai dengan ha atau km².

Contoh:

1.      Banyaknya langganan yang datang di suatu toko dalam selang waktu 5 menitan.

2.      banyaknya telepon yang masuk suatu kantor dalam selang waktu 30 menitan.

3.      Banyak salah ketik perhalaman.

4.      banyaknya pertandingan sepak bola yang tertunda selama satu musim kompetisi.

Maka   , x = 0, 1, 2, …

= parameter

Var (x) =

Biasanya ciri-ciri dari distribusi poison adalah diketahui harga rata-ratanya.

Contoh:

1.      Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatu penghitung selama satu milidetik dalam suatu percobaan laboratorium adalah empat. Berapakah probabilitas terdapat 6 partikel yang melewati penghitung selama 1 milidetik tertentu?

2.      Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung 15 tanker perhari. Berapakah probabilitas pada suatu hari tertentu tanker terpaksa disuruh pergi, karena pelabuhan tidak mampu melayaninya.

Pelabuhan tidak mampu melayani bila

Probabilitas (tanker disuruh pergi)

 diperlukan

  tabel

3.      Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayani?

P(X > 15)                    = 1 – P(X ≤ 15)

         = 1 – ∑¹⁵_x=0 p(x;10)

         = 1 – 0.9513

         = 0.0487 

Teorema: Misalkan X p.a binomial dengan dist peluang b(x;n,p). Bila n → ∞, p → 0 dan (λt) = np tetap sama, maka

                                               

b(x;n,p) → p[x; (λt)]

Contoh:

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan, Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?

Penyelesaian

n = 8000; p = 1/1000 = 0.001

            → (λt) = np = (8000)(0.001) = 8.

            Jika X = # barang yang bergelembung, maka

           

P(X < 7)          = P(X ≤ 6)

                                    = ∑⁶_x=0 b(x;8000,0.001)

                                    ≈ ∑⁶_x=0 p(x;8)

                                    = 0.3134         

Pendekatan Distribusi Binomial pada Poisson.

Misalkan pada distribusi binomial, n besar, p kecil sedemikian hingga , maka perhitungan distribusi binomial bisa menggunakan perhitungan distribusi Poisson.

   , x = 0, 1, 2, …

Contoh:

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas. Tejadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan. Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilakan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah probabilitas bahwa dalam sampel random berjumlah 8000 akan terdapat 7 yang mempunyai gelembung?

Penyelesaian

Ini adalah distribusi binomial dengan p=0,001

n = 8000

x = 7

Maka

3        Distribusi Eksponensial

x dikatakan mempunyai distribusi eksponensial bila

          ,

0 untuk x yang lain

Distribusi eksponensial ini banyak dipakai untuk memodelkan tahan hidup (keandalan) berbagai komponen seperti bola lampu, alat-alat elektronik, dan sebagainya.

x

=

         =

         =  =  + 

         =  =   = 

,

= m =

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:

=

Contoh:

1.      Misalkan daya tahan suatu komponen dinyatakan dalam variabel random x yang mempunyai distribusi eksponensial dengan rata-rata sama dengan 5. Tentukan probabilitas bahwa komponen itu akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan atau

  = m = 5

Jadi   =           ,

   = 

                        =  =  =

Distribusi yang lebih umum dari distribusi eksponensial untuk menyatakan ketahanan suatu benda adalah distribusi weibull.

x dikatakan mempunyai distribusi weibull bila:

=            ,

=

Var (x) =

P(n)  =  

Khusus

=  distribusi eksponensial

2.      Suatu sistem mengandung sejenis komponen yang daya tahanya dlm tahun dinyatakan oleh variabel acak X yang berdistribusi eksponensial dgn rata-rata waktu sampai komponen rusak adalah 5 tahun. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam sistem yang berlainan, berapakah probabilitas paling sedikit 2 komponen masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan?

Probabilitas bahwa sebuah komponen masih akan berfungsi setelah 8 tahun:

Misalkan Y menyatakan byknya komponen yg masih berfungsi setelah 8 thaun, dgn menggunakan distribusi binomial diperoleh: